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1+1=2
不要小看这个?.......上科学界‘最伟大公式’之一。
有不少人都可能曾经问过"为何1+1=2？"这个看似多余(!?)的问题。现在我尝试向有兴趣的网友简单介绍一下怎样在公理集合论的框架内证明 "1+1=2" 这句对绝大多数人来说都"颠扑不破"的数学述句。首先，大家要知道在集合论的脉络中我们讨论的对象是各式各样的集合（或类 (class)，它们和集合的分别在此不赘），故此我们经常碰到的自然数在这里也是以集合（或类）来定义。例如我们可用以下的方式界定0，1和2(eg. qv. Quine, Mathematical Logic, Revised Ed., Ch. 6, §43-44)：
0 := {x: x ={y: ~(y = y)}}
1 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε0)}
2 := {x: y(yεx.&.x\{y}ε1)}
〔比如说，如果我们从某个属于１这个类的分子拿去一个元素的话，那么该分子便会变成0的分子。换言之，１就是由所有只有一个元素的类组成的类。〕
现在我们一般采用主要由 von Neumann 引入的方法来界定自然数。例如：
0:= Λ, 1:= {Λ} = {0} =0∪{0},
2:= {Λ,{Λ}} = {0,1} = 1∪{1}
[Λ为空集]
一般来说，如果我们已经构作集n, 那么它的后继元(successor) n* 就界定为n∪{n}。
在一般的集合论公理系统中（如ZFC）中有一条公理保证这个构作过程能不断地延续下去，并且所有由这构作方法得到的集合能构成一个集合，这条公理称为无穷公理(Axiom of Infinity)(当然我们假定了其它一些公理（如并集公理）已经建立。
〔注：无穷公理是一些所谓非逻辑的公理。正是这些公理使得以Russell 为代表的逻辑主义学派的某些主张在最严格的意义下不能实现。〕
我们便可应用以下的定理来定义关于自然数的加法。
定理：命"|N"表示由所有自然数构成的集合，那么我们可以唯一地定义映像A：|Nｘ|N→|N，使得它满足以下的条件：
(1)对于|N中任意的元素x，我们有A(x,0) = x ；
(2)对于|N中任意的元素x和y，我们有A(x,y*) = A(x,y)*。
映像A就是我们用来定义加法的映像，我们可以把以上的条件重写如下：
(1) x+0 = x ；(2) x+y* = (x+y)*。
现在，我们可以证明"1+1 = 2" 如下：
1+1
= 1+0* (因为 1:= 0*)
= (1+0)* (根据条件(2))
= 1* (根据条件(1))
= 2 (因为 2:= 1*)
〔注：严格来说我们要援用递归定理(Recursion Theorem)来保证以上的构作方法是妥当的，在此不赘。]
1+ 1= 2"可以说是人类引入自然数及有关的运算后"自然"得到的结论。但从十九世纪起数学家开始为建基于实数系统的分析学建立严密的逻辑基础后，人们才真正审视关于自然数的基础问题。我相信这方面最"经典"的证明应要算是出现在由Russell和Whitehead合着的"Principia Mathematica"中的那个。
我们可以这样证明"1+1 = 2"：
首先，可以推知：
αε１<=> (Σx)(α={x})
βε2 <=> (Σx)(Σy)(β={x,y}.&.~(x=y))
ξε1+1 <=> (Σx)(Σy)(β={x}∪{y}.&.~(x=y))
所以对于任意的集合γ，我们有
γε1+1
<=>(Σx)(Σy)(γ={x}∪{y}.&.~(x=y))
<=>(Σx)(Σy)(γ={x,y}.&.~(x=y))
<=> γε2
根据集合论的外延公理(Axiom of Extension)，我们得到1+1 = 2。
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 怎么样，脑袋瘫掉没有？
[ 本帖最后由 babywong 于 2007-1-20 09:17 编辑 ] |
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发表于 2007-1-20 09:14:03
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显身卡
发表于 2007-1-20 13:49:07
从上初中以来数学就没合格过呀。。。。。。
楼主
