水区大能 散NB求助数学题VOL3(剩一题)

天地有雪

好吧，这大概是最后一次了。真是很感谢前两次水区的各位。[wdb1]
一共5题，前四题50NB，最后那个25NB。拜托大家了。[wdb1]

1.P（x）是1996次多项式。当n=1，2，3，4…………1997时，P（n）=1/n。求P（1998）。（已解）

2.如果f（x/(x-1)）=1/x，x不等于0和1，0＜θ＜（π/2）。求f（sec^2×θ）。（已解）

3.所有非零的x，21f（x）-7f（1/x）=12x。求f（17）。（已解）

4.如果z1=12，z2=8。z1,z2,z3……z8组成一个正八边形。求z1z2z3……z8的积。

5.求有多少五位数同时符合下面的条件。（已解）
a.所有五个数字不同。
b.第一个数字取2到6。
c.最后一个数字取3到7。
d.中间那个数字是单数。

[ 本帖最后由 天地有雪 于 2008-5-11 11:35 编辑 ]

泉こなた

满眼的Z- -
贼头 贼头 大波路贼头

暴力画家

3.所有非零的x，21f（x）-7f（1/x）=12x。求f（17）。
f（17）=（612+12/17）/56

代入f（17）和f（1/17），求和，解得

[ 本帖最后由 暴力画家 于 2008-5-11 09:12 编辑 ]

ygo

椅子的解法完全看不懂啊…………

3，令X=17和X=1/17代入21f（x）-7f（1/x）=12x，出来是一个2元1次方程组，解这个方程组就能得出F（17）了

最后结果F（17）=186/17

ygo

没有过程

天地有雪

原帖由 wwwjikpoi 于 2008-5-11 09:34 发表
.如果z1=12，z2=8。z1,z2,z3……z8组成一个正八边形。求z1z2z3……z8的积。正8边形的边不是一样长的么?????
P（x）是1996次多项式。当n=1，2，3，4…………1997时，P（x）=1/n。求P（1998）。X和N没有什么关系么??? ...

那个是我手误，已修改。


似乎这次全部都能做出来的样子。
重要的是过程，当然答案也很重要。希望能一步步都写出来。

天地有雪

再问一下为什么要代入X=1/17。

ygo

因为F（）里是X和1/X啊，按题目考虑，无论如何都会有包括17在内的2个未知数，所以要考虑如何凑出一组关于17和另一个未知数的方程组，这种算是比较初级的了，要是1/X换成其他的可以想个半天

kodak

第一题抄错题否P（x）=1/n这样能成立?如果是P（N）=1/n就有戏
若P（x）=A1*X^1996+A2*X^1995.....+A1997
设G(X)=P（x）*N-1=A1*X^1997+A2*X^1996.....+A1997*X-1=A1(X-1997)(X-1996)....(X-1)
∴A1*-1997*-1996.....*-1=-1 ∴A1=1/1997! ∴P(1998)=(G(1998)+1)/1998=(A1*1997!+1)/1998=1/999
第4题应该是复数

kodak

设正八变型对应的中心为Z0
那么(Z0-Z1)(Z0-Z2)...(Z0-Z8)=(2√2+2)^8
又∵Z0-Z1=Z5-Z0,Z0-Z2=Z6-Z0.....
∴∏ZN=(Z0^2-Z1^2)(Z0^2-Z2^2)(Z0^2-Z3^2)(Z0^2-Z4^2)
同理∏ZN=(Z0^4-Z1^4)(Z0^4-Z2^4)
再∏ZN=(Z0^8-Z1^8)
Z0=10+(2√2+2)i;Z1^8=(2√2+2)^8
然后就干干干算出∏ZN=
Z0和边长可能算错...所以答案也不算了,大概方法是这样

[ 本帖最后由 kodak 于 2008-5-11 11:42 编辑 ]

kodak

我两题都写错了
仔细一点:
第1题P（x）是1996次多项式,所以有1997项,X的指数分别是1996到0,那么我设他们的系数分别为A1,A2,A3到A1997
所以
P（x）=A1*X^1996+A2*X^1995.....+A1997
当N=1,2,3...1997时P（n）=1/n,也就是P（n）*N-1=0
所以可以设F(X)=P（X）*X-1
这样F(X)解析式就是1997次多项式,用{F(X)=P（X）*X-1;P（x）=A1*X^1996+A2*X^1995.....+A1997这两条式可以得到F(X)=A1*X^1997+A2*X^1996.....+A1997*X-1
因为对于N=1,2,3...1997,P（n）*N-1=0就是F(X)=0
就是说X=1,2..1997都是F(X)=0的根,那么F(X)一定可以写成F(X)=A1(X-1997)(X-1996)....(X-1)  {因为(X-1997)(X-1996)....(X-1)的展开式就是A1*X^1997+A2*X^1996.....+A1997*X-1所以系数一定是A1}
那么F(X)的解析式的常数项就是A1*(-1997)*(-1996).....*(-1)很明显这个等于-1
所以A1=1/(1997!)
那么将F(1998)=A1(1998-1997)(1998-1996).....(1998-1)=1997!/1997!=1
由F(X)=P（X）*X-1得P（X）=[F(X)+1]/X
所以P(1998)=(1+1)/1998=1/999

第4题我认为是复数
先以原点为中心画一个边长为4的正八边形(其中四条边和坐标轴平行),他们对应的复数是B1,B2,B3...B8
按照给出的两个点可以知道所求的正八边形中心是Z0=10+(2+2√2)i {其实也可以是10-(2+2√2)i不过方法是一样的}
那么B1+Z0=Z1;B2+Z0=Z2...B8+Z0=Z8;
(∏表示求积)那么∏ZN=(B1+Z0)(B2+Z0)....(B8+Z0)
从一开始画的正八边形我们可以知道B1和B5的方向相反,B2和B6的方向相反,而他们的模都是一样的,所以B1=-B5;B2=-B6
所以∏ZN=(B1+Z0)(-B1+Z0)(B2+Z0)(-B2+Z0)(B3+Z0)(-B3+Z0)(B4+Z0)(-B4+Z0)=(Z0^2-B1^2)(Z0^2-B2^2)(Z0^2-B3^2)(Z0^2-B4^2)
根据复数相乘的几何意义,复数相乘就是辐角相加而模相乘,B1原本的辐角是22.5度(一点打不出),平方后是45度
B3原本的辐角是112.5度平方后是225度,就是说B1^2和B3^2对应的复数方向相反,模相等
所以B1^2=-B3^2,也有B2^2=-B4^2
所以∏ZN=(Z0^4-B1^4)(Z0^4-B2^4)
之后进一步发现B1^4和B2^4对应的复数方向相反,模相等
所以∏ZN=(Z0^8-B1^8)
而B1=2√2+2+2i;Z0=10±(2+2√2)i 之后会很痛苦,如果不行就留给老师算

[ 本帖最后由 kodak 于 2008-5-11 21:10 编辑 ]